Over het ontwerpen van onderwijs voor de 21e eeuw
In gesprek met Jo Boaler naar aanleiding van haar boek: Mathematical Mindsets (2016)
Jo Boaler studeerde wiskunde en was lerares wiskunde in Engeland en de Verenigde Staten. Momenteel is zij hoogleraar wiskunde aan de Stanford Universiteit. Ze schreef zeven boeken en vele artikelen over mooi en rechtvaardig wiskunde onderwijs. Zij zet zich o.a. in voor het wiskundeonderwijs aan meisjes. Zij heeft een eigen website (youcube.org) waar geïnteresseerde leraren materiaal kunnen vinden om hun reken/wiskundeonderwijs te verlevendigen en om het te visualiseren. Zij is niet alleen onderzoekster, maar ook een top onderwijsontwerpster.
Zij hecht veel waarde aan aan billijkheid (equity) in het onderwijs. Onderwijs moet rechtvaardig zijn en het niet als systeem moeilijk maken voor bepaalde groepen, zoals meisjes en kinderen uit zwarte en andere minderheidsgemeenschappen. Wat vindt zij waardevol onderwijs?
Een belangrijk uitgangspunt bij Jo Boaler is het idee van een mindset. Wellicht het best te vertalen als mentale instelling. Hier haar toelichting op pagina 179 van haar boek:
Naast andere punten wil ik de aandacht vestigen op het prijzen van de leerlingen dat gericht is op groei en het bieden van ondersteuning. Mijn geachte collega hier in Stanford, Carol Dweck, deed onder andere onderzoek naar het gedrag van kleuters bij het verrichten van taken. Sommige kinderen hielden vol wanneer zij merkten dat iets niet lukte, zij gingen door met proberen, terwijl anderen het opgaven en om taakjes vroegen die voor hen gemakkelijker waren. Deze strategieën van doorzetters en opgevers kwamen naar voren bij kinderen van circa drie-en-een-half jaar oud. Toen de onderzoekers vervolgens een rollenspel met ze deden waarbij ze hen vroegen om te doen alsof ze een volwassene waren die op hun activiteit reageerde, speelden de doorzetters een volwassene die zich richtte op strategie en zeiden ze dat de kinderen betere resultaten zouden bereiken als ze meer tijd namen en een betere aanpak probeerden. De ‘opgevers’ speelden het spel waarbij de volwassenen zeiden dat het kind de taak niet voor elkaar kreeg. Zij schenen feedback gekregen hebben dat gericht was op hun persoonlijke tekortkomingen en dat mislukken slecht was.
Zo'n onderzoek toont aan dat de wijze waarop we de kinderen prijzen van groot belang is. Als we op een standaard manier prijzen krijgen kinderen een vastliggende mentale instelling (fixed mindset) -- bijvoorbeeld als we ze vertellen dat ze slim zijn. Als de leerlingen in het begin horen dat ze slim zijn, dan geeft ze dat een goed gevoel, maar als zij iets proberen dat mislukt -- en dat gebeurt bij iedereen -- beginnen ze te geloven dat ze niet zo slim zijn. Zij zetten zich af tegen een vastliggende schaal van ‘slimheid’ en dat is niet goed voor ze, zelfs als zij veel feedback krijgen die vertelt dat zij wel slim zijn. In plaats van te zeggen dat kinderen knap of slim zijn zou men gericht moeten zijn op de speciale strategieën die kinderen vertonen bij hun aanpak. In plaats van: je bent slim, is het verstandig om te zeggen: ‘mooi dat je dat heb geleerd’ of ‘ik vind het leuk zoals jij over dit probleem denkt’. Je moet kinderen dus prijzen om hun goede handelingen of hun heldere denken dat je vruchtbaar, interessant, geschikt of toepasselijk vindt voor de betreffende situatie. Het is echter moeilijk om van die stereotypen als knap en slim af te komen, maar het loont de moeite.
Jo Boaler deed veel onderzoek met het oogmerk om het onderwijs te verbeteren.
In een longitudinaal onderzoek dat zij gedurende drie jaar in Engeland uitvoerde werkten leerlingen in het voortgezet onderwijs aan projecten met een open-einde. De leerlingen kregen geen tests voorgezet en evenmin kregen zij cijfers voor hun werk. Pas in de weken voor het examen kregen zij testvragen en examenvoorbeelden om door te werken. Ondanks hun tekort aan bekendheid met tests slaagden zij met vlag en wimpel voor het examen. Veel beter dan leerlingen die gedurende drie jaar hadden getraind in het maken van opgaven zoals die op het examen werden voorgelegd. Aan de instanties die de examens afneemt vroeg Jo of zij de examens zoals de leerlingen die hadden ingeleverd mocht bestuderen. Normaal is dit niet mogelijk, maar omdat dit voor doeleinden ter verbetering van het wiskundeonderwijs was, werd dit bij hoge uitzondering toegestaan. Ze werkte hard in een kastachtige ruimte zonder ramen om de examens te analyseren. Zij vond dat leerlingen die gedurende drie jaar wiskundeonderwijs hadden gekregen waarbij zij met open vragen hadden gewerkt significant beter de examenvragen hadden beantwoord. Zelfs als zij nog nooit van het probleem hadden gehoord. (p.142)
Het geven van cijfers is volgen Jo Boaler funest. Wanneer leerlingen een cijfer krijgen, een percentielscore of andere rangordening, hebben zij vrijwel geen andere mogelijkheid dan dat zij hun cijfer met dat van anderen vergelijken, met het gevolg dat velen constateren dat zij niet zo goed zijn als de anderen. Dit is een soort ‘ego-terugkoppeling’ en dat is naar de mening van Jo Boaler destructief voor het leren. Als leerlingen voortdurend testscores krijgen of cijfers zien zij zich op den duur niet anders dan die scores of die cijfers. Zij zien de score niet als aanduiding van de voortgang van hun leren of als een aanwijzing van wat zij nog zouden kunnen of moeten leren; zij zien het als een indicatie van wat zij als persoon voorstellen. (p.143)
Uit onderzoek blijkt ook dat leerlingen die geen cijfers krijgen, maar aanwijzingen van de docent hoe zij hun werk kunnen verbeteren, betere leerresultaten behalen. Uit een ander onderzoek blijkt dat wanneer leerlingen een cijfer krijgen èn commentaar hoe zij hun werk zouden kunnen verbeteren beter werkte. Maar uit het hele onderzoek kwam naar voren dat de leerlingen die géén cijfer kregen het beste presteerden. Dit onderzoek van een collega van Jo werd gerepliceerd door andere onderzoekers en ook toen bleek dat leerlingen die geen cijfer kregen, maar diagnostische aanwijzingen om hun werk te verbeteren, het beste presteerden. (p.143)
Van het geven van cijfers naar het geven van diagnostisch commentaar is een grote verandering en het is er een die de leerlingen verbazingwekkend goed doet -- zij krijgen inzicht in hun kennis en hoe zij hun werk kunnen verbeteren. Leraren die zo werken besteden heel veel tijd aan hun onderwijs, veel meer dan de uren waarvoor zij betaald worden. Jo Boaler stelt daarom dat leraren minder proefwerken geven en zo nu en dan werk laten inleveren waarop hun leerlingen degelijk commentaar krijgen. Op die manier winnen leraren tijd om de vaste statische capaciteit om te zetten in een dynamische. Het testprobleem in het Amerikaanse onderwijs is schitterend in beeld gebracht door de documentaire film A Race to Nowhere van Vicky Abeles. (Een uittreksel is online te vinden (http://www.racetonowhere.com/american-math-crisis). Maar de crisis in het wiskundeonderwijs reikt natuurlijk veel verder dan dat vak. Het blokkeert kinderen zowel in hun ontwikkeling als hun schoolloopbaan. (p.145)
Jo Boaler wijst op een beweging die enkele jaren geleden in Engeland tot stand kwam onder de naam assessment for learning (A4L). (Zie: assessmentforlearning.edu.au). Leraren werden voorgelicht en kregen oefeningen om hun leerlingen een zodanige terugkoppeling te geven dat zij, de leerlingen, zelf de verantwoordelijkheid voor hun leren zouden kunnen nemen. De leraren gaven geen beoordeling als ware het een eindoordeel, maar een beoordeling met het perspectief om te verbeteren. Drie aspecten kunnen worden onderscheiden. (1) Duidelijk maken aan de leerlingen wat zij hebben geleerd. (2) De leerlingen helpen zich bewust te worden waar zij zijn met hun leren en welke route zij nog hebben af te leggen in termen van activiteiten. (3) De leerlingen aanwijzingen geven hoe zij de kloof kunnen overbruggen tussen waar zij zijn en waar zij naar toe gaan. (p.149)
Jo Boalers boek is inspirerend. Om haar ideeën goed over het voetlicht te brengen heb ik het vervolg van deze boekbespreking in de vorm van een vraaggesprek gegoten. Ik stel haar een aantal vragen en ik geef haar mening weer in door mij vertaalde citaten uit haar boek.
Ik stelde veertien vragen. Ongeveer de helft over algemene onderwijskundige onderwerpen, waarbij zij haar voorbeelden baseerde op haar onderzoek en haar ervaring als lerares wiskunde. De rest van de vragen gingen over het reken/wiskundeonderwijs en over het begrip mindset, een belangrijk idee in het onderwijskundige denken van Jo Boaler.
-----
Vraag: Hoe zie jij de relatie tussen leren en motivatie?
Jo: We willen dat onze leerlingen het spannend vinden om te leren en mede daardoor belangstelling hebben voor wat zij leren en dat daardoor hun motivatie en hun prestaties verbeteren.
Er is veel, heel veel onderzoek gedaan naar motivatie van binnenuit en motivatie van buitenaf. Intrinsieke motivatie (motivatie van binnenuit) ontstaat door belangstelling voor het onderwerp en de ideeën die men leert; extrinsieke motivatie komt van buitenaf door het geven van cijfers, waardoor men dan beter zijn best zou doen. Wiskunde en rekenen zijn gedurende decennia onderwezen als een prestatie vak en daarom zijn de leerlingen die het meest zijn gemotiveerd gewoonlijk extern gemotiveerd. Diegenen die een positief gevoel hebben bij wiskunde zijn die leerlingen die hoge cijfers halen. Zij motiveren wellicht enkele andere leerlingen, namelijk zij die ook hoge cijfers willen halen, maar zij demotiveren de rest. (p.147)
-----
Vraag: Hoe zou jij als leraar te werk gaan om je leerlingen te helpen bij het verbeteren van hun leren? Jouw ervaring ligt op het terrein van de wiskunde, maar misschien zijn jouw ideeën ook bruikbaar bij andere vakken? (pg’s 151-166)
Jo: Volgens mij zijn de twee belangrijkste strategieën om leerlingen zich bewust te laten worden welke wiskunde zij leren en welke weg zij bij hun leren bewandelen: zelfbeoordeling en beoordeling door leeftijdsgenoten of medeleerlingen. Als zij zichzelf beoordelen doen de leerlingen duidelijke uitspraken over de wiskunde die zij leren, wat zij dachten toen zij het leerden en waaraan zij nog moeten werken.
Voorbeeld: Ik begrijp het onderscheid tussen gemiddelde en mediaan.
Voorbeeld: Ik heb geleerd om door te zetten bij moeilijke problemen.
Beide leereffect zinnen zijn niet van dezelfde orde. In het eerste geval gaat om kennis omtrent de wereld (rekenen). In het tweede geval gaat het om kennis omtrent jezelf.
-----
H.S.: Hierbij kom je op een terrein waarover ook in Nederland wel is gepubliceerd. Ik denk hierbij o.a. aan Adriaan de Groot, die in 1982 in zijn boek Academie en Forum (Meppel, Boom) onder andere voorbeelden gaf van universele en existentiële leereffect-zinnen die betrekking kunnen hebben op de leerling zelf en op de materie (wereld) waarmee hij zich bezighoudt.
Voorbeelden zijn zinnen als:
Ik heb geleerd dat het altijd zo is dat ...
Ik heb geleerd dat er verrassingen/ uitzonderingen/ onverwachte mogelijkheden zijn als ik ...
Zie onderstaand schema uit zijn boek:
-----
Jo Boaler: Ja, dat bedoel ik; zie mijn boek op pagina 152 waar ik een voorbeeld geef voor mijn vak:
Zo zou je voor elk vak een zelf-beoordelingsinstrument voor de leerlingen kunnen ontwerpen. Belangrijk is om dat samen met ze te doen.
De beoordeling door leeftijdsgenoten of medeleerlingen kan een zelfde route volgen. Maar zij beoordelen elkaars werk in plaats van dat van henzelf. Een van mijn favorieten is ‘twee sterren en een wens’. Leerlingen bekijken elkaars werk en geven twee sterren voor wat goed is gedaan en een wens om een bepaald onderdeel te verbeteren. Ook hierbij kun je advies inwinnen bij de leerlingen.
Reflecteren
Naast beoordeling is het belangrijk dat leerlingen tijd krijgen om over hun werk te reflecteren, bijvoorbeeld aan de hand van vragen als: Aan welke ideeën heb ik vandaag gewerkt? Wat leerde ik vandaag? Welke goede ideeën kreeg ik? Hoe kan ik wat ik heb geleerd gebruiken? Welke vragen heb ik over mijn werk? (p.158)
Verkeerslichten
Leerlingen krijgen de mogelijkheid om met drie kleuren aan te geven wat zij van de leraar verwachten. Met rood als zij hulp nodig hebben, of als de les te snel gaat. Met groen als de leerling wil doorwerken. Met oranje als zij met een leerling willen samenwerken. De betekenis van de kleuren berusten op een afspraak en ze kunnen ook een andere betekenis krijgen. (p.159)
Verder geef ik een leerling geregeld een groene kaart. (kan natuurlijk ook een andere kleur zijn.) Dit betekent dat deze leerling op een bepaald moment, meestal zo tegen het einde van een les of werkperiode, gaat vertellen wat zij geleerd heeft en wat zij nog wil leren. Ik let er op dat elke leerling aan de beurt komt.
Online oordelen
Leerlingen die zich niet zo gemakkelijk verbaal uiten krijgen gelegenheid om online hun commentaar te leveren of vragen te stellen. Ook kunnen zij zo hun ideeën, vondsten of vragen delen met andere leerlingen.
Ik laat ook de leerlingen zelf vragen formuleren en tests maken. Het richt hun denken en zij kunnen tevens door het formuleren van vragen aangeven wat zij belangrijk vinden en dit bevordert weer hun creativiteit. Iedere leerling komt daarbij aan de beurt.
-----
Vraag: Je bent een voorstander van het werken in groepen. Hoe organiseer je dat?
Jo: Ja, ik werk graag met taakgroepen. Dat gaat aldus. Een taakgroep bestaat uit vier leerlingen die samen deskundig (expert) worden op een bepaald gebied of onderwerp, bijvoorbeeld een nieuwe methode om iets uit te rekenen, een mooie visualisering van een probleem, of een belangwekkende tekst. Dan verdeelt de groep zich over andere groepen van vier, zo dat elke groep van vier een lid heeft met een verschillende deskundigheid. De verschillende groepsleden onderwijzen elkaar de nieuwe kennis die zij hebben verworven, waarin zij de expert zijn. Er zijn tenminste vier gebieden van deskundigheid voor dit soort activiteiten nodig, zodat wanneer ze naar een andere groep gaan iedereen iets heeft, anders dan de drie anderen, om elkaar te onderwijzen. Een klas met 32 leerlingen heeft dan acht groepen. Voorbeeld: Twee groepjes van vier leerlingen houden zich bezig met: (a) relatie in de algebra tussen afbeelding en grafische voorstelling; (b) twee groepjes met de relatie tussen afbeelding en waarheidstabel; (c) weer twee groepjes van vier met termen van een vergelijking en (d) tenslotte twee groepjes die zich in patronen hebben verdiept.
Alle 32 leerlingen werken zo in taakgroepen. Als in elke groep de nodige expertise is verkregen (met behulp van werkbladen, opgaven, aanwijzingen van de leraar, naslagwerken etc.,) verdelen de leerlingen zich over 8 nieuwe groepen, die elk bestaan uit vier leerlingen die in groep a, b, c, of d hebben gewerkt.
Ik maak ook gebruik van het idee van een participatie quiz. Ik geef een beoordeling, niet per individuele leerling, maar per groepje. De beoordeling (in woorden) is een bericht aan de leerlingen over hun interactie in een groepje en ik laat merken dat ik weet wat zich in de groepjes (die overigens steeds verschillend zijn) afspeelt. Ik kies een onderwerp waaraan zij in een groep kunnen werken en ik demonstreer aan welke werkwijze ik waarde hecht opdat zij, mijn leerlingen, er veel van kunnen leren. De participatie quiz heeft een inhoudelijke, vakgerichte component, die ik hier nu maar laat voor wat het is (p.174) en een groepsdoel component. Deze ziet er ongeveer uit als volgt: Tijdens de participatie quiz let ik er op dat: (a) er in het midden van de tafel wordt gewerkt; (b) de werktijd gelijkelijk wordt verdeeld; (c) er als groep wordt samengewerkt; (d) er naar elkaar wordt geluisterd; (e) de groepsleden elkaar veel vragen stellen en beantwoorden en (f) dat de groepsleden hun teamrollen vasthouden.
Tijdens het langs de groepen gaan noteer ik wat er wordt gezegd, als dat het vermelden waard is, sommige leraren schrijven belangrijke opmerkingen op een poster. Aan het eind van de lesperiode is er een complete kaart en kan de groep een beoordeling krijgen of kunnen de groepjes terugkoppeling krijgen over inhoud en werkwijze. Steeds gericht op verbetering.
-----
Vraag: Wordt er ook individueel gewerkt?
Jo: Ja natuurlijk. Ik ben van mening dat het buitengewoon waardevol is dat je vertrouwen stelt in je leerlingen. Er zijn regels, daar moeten zij zich aan houden, maar verder neem je ze zoals ze zijn. Ik heb zelf als kind ervaren hoe belangrijk het is als een leraar je vertrouwt en ik heb dit ook gemerkt met mijn eigen kinderen. De leraar straalt uit dat zij de feedback aan een leerling geeft omdat zij deze vertrouwt. Als die basis er niet is heeft onderwijs geen zin. Om met een klassiek adagium te spreken: Bemoedig steeds, ontmoedig nooit. (p.177)
-----
Vraag: Onderwijs is normatief. Het is geen objectief gegeven hoe het moet verlopen. Hoe zou jij de leerlingen voorbereiden op hun onderwijs?
Jo: Ik besteed met een nieuwe klas altijd aandacht aan wat ik van ze verwacht. De leerlingen zijn onzeker en met mijn verwachtingen geef ik aan welke kant ik met ze op wil. Ik vertel ze (1) dat ik vertrouwen heb in elke leerlingen en dat er niet zoiets bestaat als een speciale begaafdheid voor wiskunde. (2) Ik vertel ze ook dat ik geen hekel heb aan fouten, mits je daarvan kunt leren. Door te leren van je fouten verbeter je je mentale instelling. (3) Fouten maken of moeite hebben met het vak betekent niet dat je geen wiskunde kunt leren. Fouten maken en daarvan leren zijn de belangrijkste aspecten van het leren van wiskunde. (4) Ik hecht er geen waarde aan dat de leerlingen snel zijn. Ik vind het wel van waarde als zij proberen de diepte in te gaan, dat zij interessante en originele wegen bewandelen en creatieve representaties zoeken. (5) Ik houd er van als leerlingen vragen stellen en die schrijf ik op een groot vel dat ik in de klas ophang.
Maar dit zijn slechts woorden. Ze hebben geen enkel effect als leerlingen merken dat ik mij er niet aan houd. Positieve normen bevorderen het leren, maar dat geldt voor mij evenzeer als voor mijn leerlingen. In bijlage B van mijn boek noem ik er zeven en hoewel het misschien wat opsommerig wordt noem ik ze hier. (p.172) Ze worden in mijn boek uitvoerig toegelicht. Wil je ze horen? Oké, maar lees of zie ter toelichting mijn boek.
(1) Iedereen kan wiskunde leren tot op een hoog niveau.
(2) Fouten zijn waardevol.
(3) Vragen zijn heel belangrijk.
(4) Wiskunde gaat over creativiteit en zingeving.
(5) Wiskunde betreft het leggen van relaties en goede communicatie.
(6) In de diepte gaan is belangrijker dan snelheid.
(7) Wiskundeonderwijs gaat over leren en niet over het leveren van prestaties.
-----
Vraag: Wat vind jij waardevol onderwijs?
Jo: Leraren willen dat hun leerlingen het goed doen en zij weten dat een positief gevoel over een vak of kennisgebied het leren bevordert. Daarom wordt het onderwijs vaak zo ingericht dat de meeste leerlingen als voldoende worden beoordeeld. Maar nieuwe inzichten in wat onze hersenen doen plaatst daarbij een vraagteken. De meest productieve klassen zijn die waar leerlingen werken aan complexe problemen, waar zij aangemoedigd worden om risico's te nemen en opdrachten waarin zij als het ware hun tanden kunnen inzetten, waarbij zij teleurstellingen ervaren en zich toch goed voelen als zij aan lastige problemen werken. Dat betekent dat de taken waar we de leerlingen voor plaatsen moeilijk moeten zijn om gelegenheid te creëren dat de hersenen (met name de hippocampus) groeien en verbindingen leggen. Dat betekent niet dat de taken alleen maar moeilijker moeten worden. Daardoor raken leerlingen gefrustreerd. Het betekent, zeker bij wiskunde, dat je de aard van de taken verandert door te zorgen voor een lage instap -- elke leerling kan ermee aan de slag -- en een hoog plafond of hoog niveau -- de leerling kan er heel ver in gaan wat diepgang en omvang van zijn activiteiten betreft. (p.178)
-----
Vraag: Welke vakinhoudelijke adviezen zou jij leraren geven?
Jo: Mijn vak is wiskunde, dus ze krijgen van mij ideeën hoe wiskunde interessant kan worden voor alle leerlingen. (1) In de eerste plaats stel ik ze voor om van wiskunde een open systeem te maken. In plaats van de leerlingen een antwoord op de vraag: ‘Wat is 1/2 gedeeld door 1/4?’ te vragen, stel ik ze voor om een vermoeden te uiten omtrent het mogelijke antwoord. Je zou kunnen zeggen: Je kent wellicht de regel waarmee je dit type sommetjes oplost, maar daar gaat het mij niet om. Vergeet die regel. Ik wil een zinvol antwoord; verklaar je oplossing. (2) Verder zou ik mijn leerlingen zeggen: Gedraag je als wiskundigen. Zij, wiskundigen, zien hun vak als creatief, mooi, esthetisch. Zorg er voor dat je leerlingen onderzoekers worden en veronderstellingen doen als wiskundigen. Als de klas consensus bereikt over een wiskundig idee, dan zeggen we samen met de kinderen, dat we een werkdefinitie hebben. (3) Een idee is om wiskunde te laten ervaren als een vak waarbij patronen en relaties een rol spelen. Patronen kunnen worden getekend en gekleurd, bijvoorbeeld een bepaalde rij vierkanten. Laat de leerlingen actief naar patronen zoeken bij hun wiskunde opgave. (4) Bemoedig de leerlingen om verschillende methoden te gebruiken bij de aanpak van een probleem. (Zie voor voorbeelden mijn boek en verschillende websites.) (5) Probeer een creatief en visueel georiënteerde wiskunde te onderwijzen. Als we onze leerlingen vragen om hun ideeën, methoden, oplossingen en problemen te beschrijven dan vragen we altijd om ze te verbinden met visuele voorstellingen. Zie in mijn boek hoofdstuk 5 dat gaat over rijke wiskundige problemen. (p. 186) (6) Bemoedig het gebruik van intuïtie en het vrijuit denken. (7) Geef de voorkeur aan diepgang boven snelheid. (8) Leg de relatie met de wereld door het gebruik van wiskundige modellen. (9) Maak gebruik van technologie en manipuleerbare systemen. (p.171 e.v.)
-----
Vraag: Wat betekent het als een leerling een wiskundige mentale instelling heeft? (a mathematical mindset)
Jo: Een wiskundige mindset betekent dat een leerling een actieve benadering heeft aangaande wiskundige kennis, waarbij de leerling ervaart dat hij het gevoel heeft te begrijpen en de zinvolheid inziet. Getalbegrip is een weerspiegeling van een fundamenteel begrip van de wiskunde, dat zich uit door een wiskundige mentale instelling die is gericht op het zien van de zinvolheid van getallen en waar zij voor staan. Het is nuttig om na te denken over getalbegrip, niet alleen omdat het de basis vormt voor alle wiskunde op een hoger niveau, maar ook omdat getalbegrip en wiskundige mentale instellingen (mindsets) zich wederzijds ontwikkelen, en leren omtrent wegen dit te ontwikkelen zowel het een als het ander helpt. (p.36)
-----
Vraag: Hoe komt het dat veel leerlingen een hekel hebben aan wiskunde?
Jo: Heel veel leerlingen zien de wiskunde inderdaad niet als iets waar ze vrolijk van worden. Dit komt voor een deel omdat zij te maken krijgen met de compactheid van het onderwerp. We moeten ons realiseren dat de hersenen alleen begrippen kunnen comprimeren; comprimeren van regels en methoden is niet mogelijk. Leerlingen die de wiskunde niet hebben leren benaderen op basis van conceptueel denken, maar als een lijst van regels die zij zich moeten herinneren, voelen zich niet betrokken bij het proces van verdichting of compactheid; hun hersenen zijn dan niet in staat om ideeën op te slaan en zich die te herinneren; in plaats daarvan worstelen ze met het onthouden van lange rijen methoden en regels. Daarom is het zo belangrijk om leerlingen te helpen de wiskunde altijd conceptueel te benaderen. Het conceptueel benaderen van de wiskunde is essentieel voor het vormen van een wiskundige mindset. (p.37)
-----
Vraag: Je hebt het vaak over mentale instelling, mijn vertaling van mindset. Kun je daar iets meer over vertellen?
Jo: Het is volgens mij van cruciaal belang dat leraren zicht hebben of tenminste krijgen op de mindset van hun leerlingen. Onderzoek van Carol Dweck toont aan dat ongeveer 40% van de door haar onderzochte kinderen een gefixeerde mindset heeft; ze geloven namelijk dat intelligentie een gave is, die je hebt of niet. Nog eens 40% had een op groei gerichte mindset. De andere 20% zwalkte tussen beide mindsets heen en weer. In een onderzoek kregen leerlingen van ongeveer 12 jaar een instrument voorgelegd waarmee hun mindset werd geregistreerd. De onderzoekers volgden deze kinderen gedurende twee jaar waarbij met name werd gekeken naar hun wiskunde resultaten op school. De resultaten waren dramatisch in die zin dat leerlingen met een gefixeerde mindset constant bleven presteren, maar de resultaten van de leerlingen met een op groei gerichte mindset werden beter en beter. [Dweck, C.S. (2012): Mindset. How you can fulfil your potential. New York, Robinson]
Het beste wat wij voor onze leerlingen kunnen doen is ze te helpen om wiskundige mindsets te ontwikkelen waardoor zij geloven, misschien beter: aanvaarden, dat wiskunde gaat over denken, zingeving, belangrijke en interessante ideeën en relaties -- niet over het van buiten leren van methoden.
-----
Vraag: Hoe zit het met wiskundige feiten? Kinderen moeten toch ook feiten leren?
Jo: Feiten worden opgeslagen in het werkgeheugen van de hersenen. Wanneer leerlingen onder druk staan, bijvoorbeeld als ze vragen voor een proefwerk moeten beantwoorden of een test moeten maken, is de kans groot dat het werkgeheugen wordt geblokkeerd en dat zij geen toegang hebben tot de feiten die ze zouden kunnen weten. (p.38) De linkerzijde van de hersenen verwerkt feitelijke en technische informatie; de rechterzijde visuele en ruimtelijke informatie. Onderzoekers vonden dat het leren van wiskunde en prestaties worden verbeterd wanneer beide zijden van de hersenen communiceren (p.39)
-----
Vraag: Wat zouden leerboeken schrijvers en leerplan ontwikkelaars dan bij voorkeur moeten doen?
Jo: De meeste leerboekenschrijvers in de VS baseren hun hele benadering op het idee dat methoden moeten worden geïsoleerd, daarmee worden deze gereduceerd tot hun eenvoudigste vorm en dan moet er worden geoefend. Dit levert om vele redenen problemen op. In de eerste plaats veroorzaakt oefenen van geïsoleerde methoden verveling bij de leerlingen; ze sluiten zich af en ze vervallen tot een passieve rol omdat ze zonder meer uitgaan van de methode die voortdurend wordt herhaald. In de tweede plaats gaan de meeste praktijkvoorbeelden uit van het meest eenvoudige en geven daardoor een versimpelde niet gerelateerde versie van de methode die moet worden geoefend, zonder de leerlingen inzicht te geven wanneer en hoe ze de methode zouden kunnen gebruiken. Ook als er ideeën worden gepresenteerd volstaat men met de eenvoudigste versie (p.43)
-----
Vraag: Wiskunde is een omvangrijk kennisgebied. Om wat voor wiskunde zou het volgens jou moeten gaan in het onderwijs? Stel dat we ons daarbij beperken tot het rekenen en de wiskunde voor de basisschool?
Jo: Mijn onderwijservaring en mijn onderzoek hebben verschillende aanwijzingen opgeleverd. Ik kan er hier verschillende noemen, om een idee te geven. Verder wil ik verwijzen naar andere bronnen: mijn boek en enkele websites. Het internet is een mooi hulpmiddel omdat het zoveel bronmateriaal geeft.
(a) Een belangrijk onderwerp is dat leerlingen getallen niet zien als gesloten eenheden, maar dat getallen open zijn. Ik vroeg aan een aantal volwassenen om na te denken over 18x5. Vervolgens bespraken we waar ze aan dachten. Er werd op zes manieren over gedacht en ik schreef ze alle zes op een bord (p.59):
De mensen vonden de mogelijkheden om bewerkingen zo te representeren prachtig. Ook mijn leerlingen.
(b) Een tweede mogelijkheid is het visualiseren van problemen, bijvoorbeeld het groeien van een reeks kun je representeren met vormen. Denk aan kralen en blokjes. Let wel hiervoor bestaan vele verschillende manieren. Zie mijn boek (61 e.v.).
(c) Het zoeken naar oplossingen voor natuurlijke problemen zoals: wat is de inhoud van een sinaasappel?
(d) Het representeren van negatieve ruimten.
(e) Probeer mogelijkheden te benutten om uitgaande van wiskundige feiten naar het plezier hebben met wiskunde.
Dit laatste kan op vele manieren. (a) Door het open leggen van de taak en verschillende mogelijkheden te laten zien. Bijvoorbeeld wat is 1:2/3? Hoe kun je dat zichtbaar maken? (b) Kun je de taak transformeren tot een onderzoekje? Laat je leerlingen bijvoorbeeld onderzoeken welke vormen een oppervlak van 4 x 12 kan hebben. Of kun je alle getallen onder de 20 schrijven met vier vieren? (V4 + V4 + 4/4 = 5). (d) Vraag aan de leerlingen eerst wat het probleem is vóór je ze de of een methode laat zien. Of misschien kunnen ze een methode zelf ontdekken. Een mooi onderzoeksonderwerp: hoe lang moeten je schoenveters zijn? En je riem? (e) Is het mogelijk het probleem te visualiseren? (f) Zorg voor problemen waar elke leerling iets mee kan aanvangen (een lage instap) en waaraan ze een tijd kunnen werken tot een zo hoog mogelijk niveau. Ik kan het nog iets anders formuleren: de taak moet uitdagend zijn voor de leerlingen maar het moet wel mogelijk zijn er iets mee te doen. (g) Adviseer je leerlingen om sceptisch te zijn. Ze mogen niet alles voor zoete koek aannemen. Als ze iets niet begrijpen moeten ze aan elkaar om een uitleg vragen. Laat ze elkaar overtuigen van de juistheid van een aanpak. (p.90)
Zoals je ziet wiskunde heeft te maken met onderzoeken, redeneren, ontdekken, tekenen en natuurlijk ook met zichtbaar maken: visualiseren. Als wiskunde op deze manier wordt gegeven heeft het een enorme uitstraling naar andere kennisgebieden. Waarbij ik nog wel even wil opmerken dat ook andere kennisgebieden -- bijvoorbeeld taal, biologie, geschiedenis, natuurkunde -- even spannend gemaakt kunnen worden.
-----
Vraag: In het voorgaande is veel de revue gepasseerd. Hoe stel je je voor dat een leraar of lerares van de basisschool dit allemaal in de vingers krijgt? Vereist dit een verandering van mindset bij de leraren?
Jo: Ja. Als een leraar het rekenen gebruikt om haar leerlingen vaste en uit het hoofd te leren mechanische procedures te laten verwerven dan krijgen we mechanistisch onderwijs waarbij kinderen niet leren denken en geen open en op groei gerichte mindset krijgen. Je kunt nog zo veel hulpmiddelen bieden in boeken, met werkbladen of via het internet. Als het niet goed wordt gebruikt heeft het geen zin. Ik geloof echter stellig dat leraren enthousiast worden van de manier van rekenen en wiskunde bedrijven zoals ik in mijn boek heb uiteengezet. Leraren kunnen zich gemakkelijk bijscholen. Ik geef ook een online cursus via Standford youcubed. De voertaal is Engels en de cursus is over de hele wereld te volgen. Ook in Nederland. De kosten bedragen $125.--
-----
Tot slot wat gegevens waar elke leraar (niet alleen wiskundeleraren) iets aan kunnen hebben.
Zie:
http://www.youcubed.org/visual-math-network/
https://www.youcubed.org./category/visual.math/
Jo's favoriete Apps en Games:
https://www.youcubed.org/categary/teaching-ideas/math-apps/
Zie ook: montessorinb.com/ van Riverside Montessori Learning Centre waar men ook mooi wiskunde materiaal ontwerpt.
Verder is er in Nederland het Freudenthal Instituut van de Universiteit van Utrecht. Men is daar vooral gericht op de lerarenopleiding voor het voortgezet onderwijs, maar voor leraren basisonderwijs is daar ook veel te beleven. Zie bijvoorbeeld hun programma Dynamics of Youth.